Exemple de point d`accumulation

Pour prouver cela, l`ensemble $X = $ ($ (0,1) cup $ {2})-{2} = $ (0,1) $ mais 2 n`est pas la limite d`une séquence en $ (0,1) $ donc 2 n`est pas un A. séquences Rappelez-vous qu`une séquence est une carte où est souvent notée par. Laissez $x in X $. Nous savons que $ lim_{n To infty} 1 + frac{1}{n} = $1, et donc $ (a_n) $ est une séquence convergente. Notez que la limite d`une séquence (si elle en a un) est un point limite de la séquence (en fait, un point limite de l`image de la séquence, mais nous sommes rarement que pédantic) et, en fait, un point d`accumulation de la séquence. Le point 4 n`est pas. Par théorème 1, nous avons que toutes les sous-séquences de $ (a_n) $ doivent donc converger à $1 $, et donc $1 $ est le seul point d`accumulation de $ (a_n) $. Le concept d`un filet généralise l`idée d`une séquence. Mais le voisinage ouvert $ {x } $ ne contient aucun point de $S $ différent de $x $. Point de condensation. Étant donné que les termes de cette sous-séquence sont en augmentation et que cette sous-séquence est illimitée, il n`y a pas de points d`accumulation associés à cette sous-séquence et il n`y a pas de points d`accumulation associés à une sous-séquence qui dépend au moins partiellement de la queue de cette sous-séquence. Exemple: dans la topologie habituelle, est un point d`accumulation pour ainsi que pour la séquence.

Exemple: a autant de points que le fait. Si nous prenons la sous-séquence $ (a_ {n_k}) $ pour tout simplement être la suite entière, alors nous avons que $0 $ est un point d`accumulation pour $ left (frac{1}{n} right) $. Devoirs (dus le 8 avril): Mendelson, 5. Voulez-vous un exemple de la séquence ou voulez-vous plus d`informations. Si nous regardons la séquence des termes même, remarquez que $ lim_{k To infty} a_ {2k} = $0, et donc $0 $ est un point d`accumulation pour $ (a_n) $. Nous disons que c`est un point limite pour si chaque ensemble ouvert contenant contient un point d`autre que. Note latérale: si est un point d`accumulation de la séquence, et est un ensemble ouvert contenant alors nous disons que c`est souvent dans. Nous pourrions travailler avec un ensemble un peu plus grand pour $S $, par, en plus des points mentionnés, jetant dans tous les entiers, ou quelque chose d`autre qui ne produirait pas de points d`accumulation supplémentaires. Dans l`exemple précédent: est un point de condensation pour mais pas pour la séquence. Considérez la séquence $ (a_n) $ définie par $a _ n = left{begin{Matrix} n & mathrm{if : 6 : divise : n} n ^ 2 & mathrm{if : 6 : ne : pas : Divide : n} end{Matrix}right.

C`est-à-dire, contient une “queue” entière de la séquence. Si X {displaystyle X} est un espace métrique ou un espace de premier-Countable (ou, plus généralement, un espace de Fréchet – Eoursohn), puis x {displaystyle x} est le point de cluster de (x n) n n ° n {displaystyle (x_ {n}) _ {nin mathbb {N}}} si et seulement si x {displaystyle x} est une limite de certains Sub séquence de (x n) n n {displaystyle (x_ {n}) _ {nin mathbb {N}}}.

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